Exploration d’arbres avec oracle

Résumé. Nous étudions la quantité de connaissance nécessaire sur le réseau pour résoudre efficacement une tâche sur celui-ci. L’impact de l’information disponible sur l’efficacité de la résolution des problèmes, comme la communication ou l’exploration, a déjà été étudié auparavant mais les hypothèses concernaient la disponibilité d’informations particulières sur le réseau, comme sa taille, son diamètre ou une carte de celui-ci. Au contraire, notre approche est quantitative : nous étudions le nombre minimum de bits d’information (taille d’oracle minimum) qui doivent être fournis à l’algorithme pour effectuer une tâche avec une certaine efficacité. Nous illustrons cette approche quantitative de l’information disponible par le problème de l’exploration d’arbres. Une entité mobile (robot) doit traverser toutes les arêtes d’un arbre inconnu, en utilisant aussi peu de traversées d’arêtes que possible. La qualité d’un algorithme d’exploration A est mesuré par son rapport compétitif, i.e., par comparaison de son coût (nombre de traversées d’arêtes) à la longueur du plus court chemin contenant toutes les arêtes de l’arbre. Le parcours en profondeur d’abord a un rapport compétitif de 2 et en l’absence d’information sur l’arbre aucun algorithme ne peut faire mieux. Nous déterminons le nombre minimal de bits d’information qui doit être donné à un algorithme d’exploration afin d’obtenir un rapport compétitif strictement plus petit que 2. Notre résultat principal établit un seuil exact sur la taille de l’oracle, qui est approximativement log log D bits, où D est le diamètre de l’arbre. Plus précisément, pour toute constante c, nous construisons un algorithme d’exploration de rapport compétitif plus petit que 2, utilisant un oracle de taille au plus log logD c, et nous montrons que tout algorithme utilisant un oracle de taille log logD g(D), pour toute fonction g non bornée supérieurement, a un rapport compétitif au moins égal à 2.